• Программа Расчет Стержня На Устойчивость
• Программа Расчет Стержня На Устойчивость Составного
• Программа Расчет Стержня На Устойчивость За Пределами Упругости

Расчет на прочность. Изгиб стержня,связанный с потерей. Типы задач при расчете. РАСЧЕТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ. Кости меньше 40 стержни на устойчивость рассчитывать не. Программа расчета устойчивости сжатых стержней. Эта программа. Программу можно.

Понятие об устойчивости. Задача Эйлера УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ До сих пор мы рассматривали методы определения напряжений и перемещений, возникающих в стержнях и соответственно, зани­мались оценкой их прочности и жесткости. Однако оказывается, что соблюдение условий прочности и жесткости еще не гаранти­рует способности конструкций выполнять, предназначенные им функции в эксплуатационных режимах. Наряду с выполнением ус­ловий прочности и жесткости, необходимо обеспечить и устой­чивость конструкций. При неизменной схеме нагружения, под устойчивостью пони­мается свойство способности системы сохранять свое первоначаль­ное равновесное состояние. Если рассматриваемая система таким свойством не обладает, то она называется неустойчивой, а ее равновесное состояние - неустойчивым состоянием.

При неизменной схеме нагружения, в процессе роста интен­сивности нагрузок, явление перехода системы от одного равновес­ного состояния к другому равновесному состоянию, называется потерей устойчивости системы. Значения внешних сил, при которых происходит потеря устойчивости, называются кри­тическими. В некоторых случаях при потере устойчивости, система, пере­ходя в новое устойчивое равновесное состояние, продолжает вы­полнять свои функции. Однако в подавляющем большинстве случа­ев, потеря устойчивости системы сопровождается возникновением больших перемещений, пластических деформаций или ее полным разрушением. Поэтому сохранение исходного (расчетного) равно­весного состояния системы является важной задачей и одной из основных проблем сопротивления материалов. 7.1 Основная задача теории устойчивости заключа­ется в определении критического значения внешних сил и ограничение их величин таким образом, чтобы исключить возможность потери устойчивости задан­ной системы в эксплуатационных режимах.

Пусть вертикальный стержень закреплен ниж­ним концом, а на свободном верхнем конце цент­рально приложена продольная сила Р (рис. На начальном этапе нагружения равновесное состояние системы определяется как простое продольное сжатие, так как на данном этапе нагружения в поперечных сечениях стержня, за иск­лючением продольной силы, остальные силовые факторы равны нулю. При дальнейшем росте внешней силы Р, обнаруживается, что при некотором ее значении P = P KP, стержень изогнется. Так как явление изгиба тесно связано с действием изгибающих момен­тов, возникающих в поперечных сечениях стержня, можем утверж­дать, что при P = P KP происходила смена формы равновесного сос­тояния системы. Если на начальном этапе нагружения P P KP сжатие сопровождается изгибом.

Это означает, что при P = P KP происходила потеря устойчивости системы. Заметим, что в данном случае, смена формы равновесного сос­тояния сопровождается и сменой формы деформирования: в докри­тическом - прямолинейная форма деформирования, в закритиче­ском - криволинейная, а в критическом - смешанная форма.

Заметим также, что для гибких стержней потеря устойчивости может наступить при напряжениях, значительно меньших предела прочности материалов. Поэтому расчет стержней должен выпол­няться при условии, что сжимающие напряжения не превышают критического значения с точки зрения потери их устойчивости:, (7.1) где Р KP - значение сжимающей силы, при котором стержень пере­ходит из прямолинейного состояния равновесия к криволинейно­му; F - площадь сечения стержня. 7.2 Изучение устойчивости стержней начнем с простейшей задачи о стержне с двумя шарнир­но опертыми концами при действии центрально сжи­мающей силы Р (рис. Впервые эта задача была поставлена и решена Л.Эйлером в середине ХVIII века и носит его имя. Рассмотрим условия, при которых происходит переход от цен­трально сжатого состояния к изогнутому, т.е. Становится возмож­ной криволинейная форма оси стержня при центрально приложен­ной сжимающей силе Р. Предполагая, что изгиб стержня будет происходить в плоскости минимальной жесткости, записывая диф­ференциальное уравнение упругой линии балки и ограничиваясь рассмотрением только малых перемещений, имеем: (7.2) где I x - минимальный момент инерции сечения.

Для определения выражения изгибающего момента M x( z), дей­ствующего в поперечном сечении стержня, расположенном на рас­стоянии z от начала системы координат, применяя метод сечений к системе, изображенной на рис. 7.2 и рассматривая равновесие отсе­ченной части системы, расположенной левее от заданного сечения, получим:. (7.3) При положительном прогибе в выбранной системе координат знак “минус” означает, что момент является отрицательным Введем следующее обозначение:. (7.4) Тогда уравнение (7.2) преобразуется к виду:. (7.5) Решение (7.5) записывается в виде:. (7.6) Постоянные С 1 и С 2 определяются из граничных условий зада­чи: y (0) = 0; y (l) = 0.

Из первого условия вытекает, что С 2 = 0, а из второго полу­чается, что либо С 1 = 0 (что нам неинтересно, т.к. В этом случае y ( z) º 0), либо sin kl = 0. (7.7) Из (7.7) следует, что kl = p n, где n - произвольное целое число.

Учитывая (7.4), получаем:. (7.8) Это означает, что для того, чтобы центрально сжатый стержень принял криволинейную форму, необходимо, чтобы сжимающая си­ла была равна какому-либо значению из множества Р n по (7.8). Наименьшее из этих значений называется критической силой Р KP и будет иметь место при n = 1: Р KP =. (7.9) Эта сила носит название первой критической эйлеровой силы. Следовательно, согласно (7.6) при Р = Р KP выражение прогибов можно запи­сать в следующем виде:.

(7.10) Из (7.10) видно, что прогибаться стержень будет по синусоиде. Графики функций прогибов y ( z) при различных n изображены на рис. 7.3 Из (7.9) видно, что критическая с точки зре­ния устойчивости сила за­висит от жесткости стерж­ня и его длины, но никак не зависит от прочностных свойств материала стерж­ня, т.е. Два стержня одинаковой длины с идентичными граничными условиями их закрепления, изготовленных из различных материа­лов, но имеющих одинаковую изгибную жесткость, теряют устой­чивость при одном и том же значении сжимающей силы.

В этом заключается значительная разница между проверкой прочности стержня на сжатие и растяжение и проверкой на устойчивость. При изменении условий закрепления концов стержня необхо­димо решение дифференциального уравнения его изгиба, но уже в виде:. (7.11) Анализ этих решений говорит о том, что все они могут быть представлены в следующем виде:. (7.12) где m - коэффициент приведения длины. Он показывает, во сколь­ко раз следует изменить длину шарнирно опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась бы критической силе стержня длиной l в рассматриваемых условиях закрепления. 7.4 по­казано несколько видов закрепления стержня и указаны соответст­вующие значения коэффициента m. Границы применимости решения Эйлера.

Формула Ясинского Как показали опыты, решение Эйлера подтверждалось не во всех случаях. Причина состоит в том, что формула Эйлера была получена в предположении, что при любой нагрузке стержень ра­ботает в пределах упругих деформаций по закону Гука. Следова­тельно, его нельзя применять в тех ситуациях, когда напряжения превосходят предел пропорциональности. В связи с этим найдем границы применимости решения Эйлера: Рис. 7.4, (7.13) где - радиус инерции сечения. Если стержень имеет оди­наковые опорные закрепления в двух взаимно перпендикулярных плоскостях инерции, то при определении значения критической силы и критического напряжения, необходимо брать наименьшее значение момента инерции и, соответственно, радиуса инерции поперечного сечения. Введем понятие гибкости стержня:.

Тогда (7.13) принимает вид:. (7.14) Из (7.14) следует, что напряжение s КР возрастает по мере уменьшения гибкости стержня. Заметим, что стержень, имеющий неодинаковые опорные закрепления в главных плоскостях и, сле­довательно, неодинаковые приведенные длины, теряет устойчи­вость в той главной плоскости, в которой гибкость стержня имеет наибольшее значение. Формула Эйлера неприемлема, если напряжения s КР s П, где s П - предел пропорциональности. Приравнивая (7.14) к пределу пропорциональности, получим предельное значение гибкости:. (7.15) Если l l ПРЕД, то формулу Эйлера можно применять. В противном случае ею пользоваться нельзя.

Программа Расчет Стержня На Устойчивость

Для стали Ст.3 l ПРЕД = 100. В ситуациях, когда напряжения превышают предел пропорциональности, получение теоретического решения осложняется, т.к.

Программа Расчет Стержня На Устойчивость Составного

Зависимость между напряжениями и деформациями становится не­линейной. В связи с этим, в этих случаях пользуются эмпириче­скими зависимостями. В частности, Ф.С. Ясинский предложил сле­дующую формулу для критических по устойчивости напряжений:, (7.16) где a, b - постоянные, зависящие от материала, так для стали Ст.3 a = 3,1×10 5 кН/м 2, b = 11,4×10 2 кН/м 2. При гибкостях стер­жня, находящихся в диа­пазоне 0.

На практике часто возникает необходимость расчета стойки или колони на максимальную осевую (продольную) нагрузку. Усилие, при котором стойка теряет устойчивое состояние (несущую способность) является критическим. На устойчивость стойки оказывает влияние способ закрепления концов стойки. В строительной механике рассматривают семь способов закрепления концов стойки.

Ми рассмотрим три основных способа: Для обеспечения определенного запаса устойчивости необходимо чтобы соблюдалось условие: Р ≤ Р где: Р – действующее усилие; Р – допустимая нагрузка. Устанавливается определенный коэффициент запаса устойчивости Таким образом, при расчете упругих систем необходимо уметь определять величину критической силы Ркр.

Если иметь введу что усилие Р приложено к стойке вызывает только малые отклонения от прямолинейной формы стойки длиной ι то его можно определить из уравнения где: E – модуль упругости; Jmin– минимальный момент инерции сечения; M(z) – изгибающий момент, равный M(z) = -P ω; ω – величина отклонения от прямолинейной формы стойки; Решая это дифференциальное уравнение А и В постоянные интегрирования, определяются по граничным условиям. Произведя определенные действия и подстановки получим конечное выражение для критической силы Р Наименьшее значение критической силы будет при n = 1 (целое число) и Уравнение упругой линии стойки будет иметь вид: где: z - текущая ордината, при максимальном значении z=l; Допустимое выражение для критической силы называется формулой Л.Эйлера. Видно, что величина критической силы зависит от жесткости стойки EJ min прямо пропорционально и от длины стойки l – обратно пропорционально.

Как было сказано, устойчивость упругой стойки зависит от способа ее закрепления. Рекомендуемая величина запаса прочности для стальных стоек ровна n y=1,5÷3,0; для деревянных n y=2,5÷3,5; для чугунных n y=4,5÷5,5 Для учета способа закрепления концов стойки вводиться коэффициент концов приведенной гибкости стойки.

Где: μ – коэффициент приведенной длины (Таблица); i min- наименьший радиус инерции поперечного сечения стойки (таблица); ι – длина стойки; Вводиться коэффициент критической нагрузки:, (таблица); Таким образом, при расчете поперечного сечения стойки необходимо учитывать коэффициенты μ и ϑ величина которых зависит от способа закрепления концов стойки и приведена в таблицах справочника по сопромату (Г.С. Писаренко и С.П.Фесик ) Приведем пример расчета критической силы для стержня сплошного сечения прямоугольной формы – 6×1 см., длина стержня ι = 2м. Закрепления концов по схеме III. Расчет: По таблице находим коэффициент ϑ=9,97, μ = 1. Момент инерции сечения будет: а критическое напряжение будет: Очевидно, что критическая сила Р кр=247 кгс вызовет в стержне напряжение всего 41кгс/см 2, что значительно меньше предела проточности (1600кгс/см 2), однако эта сила вызовет искривление стержня, а значит потерю устойчивости.

Рассмотрим другой пример расчета деревянной стойки круглого сечения защемленной в нижнем конце и шарнирно закрепленной на верхнем (С.П. Длина стойки 4м, сила сжатия N=6тс. Допускаемое напряжение σ=100кгс/см 2. Принимаем коэффициент понижения допускаемого напряжения на сжатие φ=0.5.

Вычисляем площадь сечения стойки: Определяем диаметр стойки: Момент инерции сечения Вычисляем гибкость стойки: где: μ=0.7, исходя из способа защемления концов стойки; Определяем напряжение в стойке: Очевидно, что напряжение в стойке составляет 100кгс/см 2 и оно ровно допустимому напряжению σ=100кгс/см 2 Рассмотрим третий пример расчета стальной стойки из двутаврового профиля, длиной 1.5м, сила сжатия 50тс, допускаемое напряжение σ=1600кгс/см 2. Нижний конец стойки защемлен, а верхний свободный (I способ). Для подбора сечения используем формулу и задаемся коэффициентом ϕ=0.5, тогда: Подбираем из сортамента двутавр №36 и его данные: F=61.9см 2, i min=2.89см. Определяем гибкость стойки: где: μ из таблицы, ровное 2, учитывая способ защемления стойки; Расчетное напряжение в стойке будет: 5кгс,что примерно ровно допустимому напряжению, и на 0.97% больше, что допустимо в инженерных расчетах. Поперечное сечение стержней работающих на сжатие будет рациональным при наибольшем радиусе инерции.

Программа Расчет Стержня На Устойчивость За Пределами Упругости

При расчете удельного радиуса инерции наиболее оптимальным является трубчатые сечения, тонкостенные; для которых величина ξ=1÷2.25, а для сплошных или прокатных профилей ξ=0.204÷0.5 Выводы При расчете на прочность и устойчивость стоек, колон необходимо учитывать способ закрепления концов стоек, применять рекомендуемый запас прочности. Значение критической силы получено из дифференциального уравнения изогнутой осевой линии стойки (Л.Эйлера). Для учета всех факторов, характеризующих нагруженную стойку введено понятие гибкости стойки – λ, коэффициент провиденной длины – μ, коэффициент понижения напряжения – ϕ, коэффициент критической нагрузки - ϑ. Их значения берут из таблиц справочников (Г.С.Писарентко и С.П.Фесик).

Приведены примерные расчеты стоек, на определение критической силы - Ркр, критического напряжения - σкр, диаметра стоек – d, гибкости стоек – λ и другие характеристики. Оптимальным сечением для стоек и колон является трубчатые тонкостенные профиля с одинаковыми главными моментами инерции.

Используемая литература: Г.С Писаренко «Справочник по сопротивлению материалов». С.П.Фесик «Справочник по сопротивлению материалов». Анурьев «Справочник конструктора-машиностроителя». СНиП II-6-74 «Нагрузки и воздействия, нормы проектирования». Автор Ткаченко Н.А.